我们设抛物线为
\[y=x^2+2x-3.\]
其对称轴为 \(x=-1\)，故令点 \(P=(-1,p)\)（其中 \(p\) 待定）。
设过 \(P\) 的直线斜率为 \(m\)，则直线方程为
\[y-p=m(x+1).\]
将直线与抛物线联立：
\[x^2+2x-3=m(x+1)+p.\]
整理得
\[x^2+(2-m)x-(3+m+p)=0.\]
令该二次方程的两个根为 \(x_1,x_2\)（对应交点 \(F\) 与 \(G\)）。根据韦达公式：
\[x_1+x_2=m-2,\quad x_1x_2=-(3+m+p).\]
由于 \(F\) 和 \(G\)都在直线上，且直线斜率为 \(m\)，所以它们的距离可写为
\[FG=\sqrt{(x_2-x_1)^2+[m(x_2-x_1)]^2}=\sqrt{1+m^2}\,|x_2-x_1|.\]而
\[|x_2-x_1|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{(m-2)^2-4\big[-(3+m+p)\big]}.\]计算得
\[(m-2)^2+4(3+m+p)=m^2-4m+4+12+4m+4p=m^2+4(p+4).\]
故
\[FG=\sqrt{1+m^2}\sqrt{m^2+4(p+4)}.\]
中点 \(M\) 的横坐标为
\[
x_M=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{m-2}{2}.\]
而 \(F\) 与 \(G\)的纵坐标分别为 \(f(x_1)\) 和 \(f(x_2)\)，因此
\[
y_M=\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}.\]
利用抛物线 \(f(x)=x^2+2x-3\)，注意到
\[
x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(m-2)^2+2(3+m+p),
\]
故计算得到
\[
y_M=\frac{(m-2)^2+2(3+m+p)+2(m-2)-6}{2}=\frac{m^2+2p}{2}=\frac{m^2}{2}+p.\]
于是