本文研究办公楼内办公室的最优楼层分配问题，目标是最小化人员流动的总垂直距离。通过引入加权距离和，将问题转化为整数轴上的排列优化问题。利用交换论证导出局部最优解的必要条件，并基于此设计迭代交换算法。借助排序不等式构造高质量初始解以提高算法效率。以 \(m=7\) 的实例验证方法的有效性，并给出 Python 伪代码以说明算法实现。本文所用知识限于高中数学的排列组合、绝对值和不等式，但体现了组合优化的基本思想。
**关键词**：办公室分配；交换论证；局部最优；排序不等式；贪心构造
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某公司有一栋 \(m\) 层的办公楼，每层高度相同，现有 \(m\) 个办公室需分配到各楼层（每层一个）。已知各办公室之间的日均人员走动次数（流量）矩阵 \(F=(f_{ij})\)，其中 \(f_{ij}\) 表示从办公室 \(i\) 到 \(j\) 的次数，且 \(f_{ii}=0\)。目标是找到一种分配，使所有人员走动的总垂直距离最小。
设办公室 \(i\) 分配的楼层为 \(a_i\)（\(a_i\in\{1,2,\dots,m\}\)，且互不相同），则总距离为\[
D = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m f_{ij}\,|a_i-a_j|.\]
由于流量可能不对称，但总距离是双向的，定义对称权重 \(w_{ij}=f_{ij}+f_{ji}\)，则\[
D = \frac12\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m w_{ij}\,|a_i-a_j| = \sum_{1\le i<j\le m} w_{ij}\,|a_i-a_j|,\]
其中 \(w_{ii}=0\)，且 \(w_{ij}=w_{ji}\ge 0\)。以下采用对称形式。
问题归结为：在 \(\{1,\dots,m\}\) 的所有排列中，求使 \(D\) 最小的排列。
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- \(w_{ij}\)：办公室 \(i\) 与 \(j\) 之间的总流量（双向和）。- \(a_i\)：办公室 \(i\) 的楼层编号。
- \(W_i = \sum_{j=1}^m w_{ij}\)：办公室 \(i\) 的总关联流量，反映其重要程度。- \(c_k = \sum_{l=1}^m |k-l|\)：楼层 \(k\) 到所有楼层的距离和。易证 \(c_k\) 在中间楼层最小，且关于中心对称。
\[
D(a_1,\dots,a_m) = \sum_{1\le i<j\le m} w_{ij}\,|a_i-a_j|. \tag{1}\]